حداقل و حداکثر در ریاضی دوازدهم انسانی

یافتن نقاط حداقل و حداکثر در توابع، که به آن ها اکسترمم نیز گفته می شود، از مباحث بنیادین و بسیار کاربردی در ریاضیات، به ویژه در ریاضی دوازدهم رشته علوم انسانی است. این مفاهیم به ما کمک می کنند تا بالاترین و پایین ترین مقادیر یک تابع را در یک بازه مشخص یا در کل دامنه آن شناسایی کنیم.

مبحث حداقل و حداکثر توابع، که با عنوان اکسترمم ها نیز شناخته می شود، یکی از پرکاربردترین سرفصل های ریاضیات در رشته علوم انسانی است. درک این مفاهیم امکان تحلیل رفتار توابع و شناسایی نقاط بهینه (نظیر حداکثر سود یا حداقل هزینه) را فراهم می آورد. این مقاله به صورت جامع و گام به گام به تشریح چگونگی یافتن این نقاط با تمرکز بر روش های مرتبط با مبحث مشتق می پردازد. تسلط بر این بخش نه تنها برای موفقیت در امتحانات نهایی و کنکور سراسری حیاتی است، بلکه بنیانی برای کاربردهای اقتصادی و تحلیلی در سطوح بالاتر فراهم می کند. هدف این نوشتار، ارائه درسنامه ای است که ضمن حفظ اعتبار علمی، برای دانش آموزان رشته علوم انسانی کاملاً قابل فهم و کاربردی باشد و ابهامات رایج را برطرف سازد.

مفهوم حداقل و حداکثر در توابع

در مطالعه توابع، اغلب نیاز داریم تا نقاطی را شناسایی کنیم که در آن ها مقدار تابع به بیشترین یا کمترین میزان خود می رسد. این نقاط، که به آن ها اکسترمم (Extremum) گفته می شود، نقشی کلیدی در تحلیل رفتار تابع و حل مسائل بهینه سازی ایفا می کنند. مفهوم حداقل و حداکثر توابع در بسیاری از علوم، از فیزیک و مهندسی گرفته تا اقتصاد و علوم اجتماعی، کاربرد فراوان دارد. برای مثال، در علم اقتصاد، از این مفاهیم برای یافتن حداکثر سود یا حداقل هزینه تولید استفاده می شود.

تعریف کلی حداقل (مینیمم) و حداکثر (ماکزیمم)

یک تابع f(x) در نقطه ای مانند x = a دارای حداکثر (ماکزیمم) است اگر مقدار تابع در این نقطه (f(a)) از مقادیر تابع در نقاط نزدیک به a بزرگتر باشد. به عبارت دیگر، f(a) ≥ f(x) برای تمام x در یک همسایگی از a.

به همین ترتیب، یک تابع f(x) در نقطه ای مانند x = b دارای حداقل (مینیمم) است اگر مقدار تابع در این نقطه (f(b)) از مقادیر تابع در نقاط نزدیک به b کوچکتر باشد. به بیان دقیق تر، f(b) ≤ f(x) برای تمام x در یک همسایگی از b.

به نقاطی که تابع در آن ها به حداکثر یا حداقل می رسد، نقاط اکسترمم گفته می شود و مقدار تابع در این نقاط، مقدار اکسترمم نامیده می شود.

تفاوت اکسترمم های نسبی (محلی) و مطلق (سراسری)

اکسترمم ها را می توان به دو دسته اصلی تقسیم کرد: اکسترمم های نسبی (یا محلی) و اکسترمم های مطلق (یا سراسری). تفاوت اصلی بین این دو نوع اکسترمم در گستره ای است که مقدار تابع مورد بررسی قرار می گیرد.

حداقل نسبی (مینیمم محلی)

تابع f(x) دارای حداقل نسبی در x = c است اگر f(c) کوچکترین مقدار تابع در یک بازه کوچک (همسایگی) اطراف c باشد. این نقطه شبیه به عمق یک دره کوچک در نمودار تابع است. یعنی اگر فقط به قسمتی از نمودار نگاه کنیم، آن نقطه پایین ترین نقطه است، حتی اگر در بخش های دیگر نمودار نقاط پایین تری وجود داشته باشند.

حداکثر نسبی (ماکزیمم محلی)

تابع f(x) دارای حداکثر نسبی در x = c است اگر f(c) بزرگترین مقدار تابع در یک بازه کوچک (همسایگی) اطراف c باشد. این نقطه شبیه به قله یک تپه کوچک در نمودار تابع است. یعنی در یک محدوده کوچک، آن نقطه بالاترین ارتفاع را دارد.

حداقل مطلق (مینیمم سراسری)

تابع f(x) دارای حداقل مطلق در x = c است اگر f(c) کوچکترین مقدار تابع در کل دامنه آن (یا در یک بازه مشخص و بسته) باشد. این نقطه، پایین ترین نقطه کل نمودار تابع است. یعنی هیچ نقطه دیگری در کل دامنه تابع وجود ندارد که مقدار تابع در آن کمتر از f(c) باشد.

حداکثر مطلق (ماکزیمم سراسری)

تابع f(x) دارای حداکثر مطلق در x = c است اگر f(c) بزرگترین مقدار تابع در کل دامنه آن (یا در یک بازه مشخص و بسته) باشد. این نقطه، بالاترین نقطه کل نمودار تابع است. یعنی هیچ نقطه دیگری در کل دامنه تابع وجود ندارد که مقدار تابع در آن بیشتر از f(c) باشد.

برای درک بهتر تفاوت اکسترمم های نسبی و مطلق، می توانیم به یک نمودار کوهستانی فکر کنیم. یک قله کوچک در مسیر پیاده روی شما می تواند یک حداکثر نسبی باشد، در حالی که بلندترین قله کل رشته کوه، حداکثر مطلق است. به همین ترتیب، یک فرورفتگی کوچک در مسیر، حداقل نسبی، و عمیق ترین نقطه کل منطقه، حداقل مطلق خواهد بود.

نوع اکسترمم	توضیح	محدوده بررسی
حداقل نسبی	پایین ترین نقطه در یک همسایگی کوچک	همسایگی محلی
حداکثر نسبی	بالاترین نقطه در یک همسایگی کوچک	همسایگی محلی
حداقل مطلق	پایین ترین نقطه در کل دامنه/بازه	کل دامنه یا بازه بسته
حداکثر مطلق	بالاترین نقطه در کل دامنه/بازه	کل دامنه یا بازه بسته

پیش نیازهای مهم: مرور مفاهیم کلیدی

برای تسلط بر مبحث حداقل و حداکثر توابع، آشنایی با دو مفهوم اساسی در ریاضی، یعنی مشتق و نقاط بحرانی، ضروری است. این دو مفهوم، ابزارهای اصلی ما برای تحلیل رفتار توابع و یافتن اکسترمم های آن ها هستند.

مفهوم مشتق و شیب خط مماس

مشتق یک تابع در یک نقطه، بیانگر نرخ تغییرات تابع در آن نقطه است و به صورت هندسی، معادل شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه می باشد. اگر مشتق تابع f'(x) در یک بازه مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است؛ یعنی با افزایش x، مقدار f(x) نیز افزایش می یابد. برعکس، اگر مشتق در یک بازه منفی باشد، تابع در آن بازه نزولی است؛ یعنی با افزایش x، مقدار f(x) کاهش می یابد.

در نقاط حداکثر یا حداقل نسبی، نمودار تابع از صعودی به نزولی یا از نزولی به صعودی تغییر جهت می دهد. در این نقاط پیچشی، شیب خط مماس بر نمودار تابع (یعنی مشتق) معمولاً برابر صفر است. این نکته اساس روش یافتن اکسترمم ها با استفاده از مشتق را تشکیل می دهد.

نقاط بحرانی

نقاط بحرانی، قلب تپنده مبحث اکسترمم ها هستند. برای یافتن اکسترمم های یک تابع، ابتدا باید نقاط بحرانی آن را شناسایی کنیم.

تعریف نقطه بحرانی: نقطه c از دامنه تابع f(x)، یک نقطه بحرانی نامیده می شود اگر یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

1. مشتق تابع در آن نقطه برابر صفر باشد: f'(c) = 0. (این حالت معمول تر است و نقاطی را شامل می شود که در آن ها خط مماس افقی است.)
2. مشتق تابع در آن نقطه وجود نداشته باشد: (این حالت در توابعی با گوشه تیز، یا نقاط ناپیوستگی رخ می دهد که البته در حد ریاضی انسانی کمتر مورد بررسی قرار می گیرد، اما برای تکمیل مفهوم باید به آن اشاره کرد.)

نقاط بحرانی، کاندیداهای اصلی برای نقاط اکسترمم نسبی هستند. به عبارت دیگر، هر نقطه اکسترمم نسبی، حتماً یک نقطه بحرانی است. اما عکس این قضیه همیشه صادق نیست؛ یعنی هر نقطه بحرانی لزوماً یک نقطه اکسترمم نیست (می تواند نقطه عطف باشد). به همین دلیل، برای تشخیص اینکه یک نقطه بحرانی، اکسترمم نسبی است یا خیر، به آزمون مشتق اول نیاز داریم.

تمام نقاط اکسترمم نسبی، نقاط بحرانی تابع هستند، اما همه نقاط بحرانی لزوماً اکسترمم نیستند.

روش یافتن حداقل و حداکثر توابع در ریاضی دوازدهم انسانی (با تمرکز بر مشتق)

پس از آشنایی با مفاهیم پایه، اکنون به سراغ روش های عملی یافتن اکسترمم ها می رویم. در ریاضی دوازدهم انسانی، تمرکز اصلی بر استفاده از مشتق برای تحلیل رفتار تابع و شناسایی نقاط حداکثر و حداقل است.

یافتن حداقل و حداکثر نسبی (روش آزمون مشتق اول)

آزمون مشتق اول، یک روش قدرتمند برای تعیین نوع اکسترمم در نقاط بحرانی است. این روش بر اساس تغییر علامت مشتق اول تابع در اطراف نقاط بحرانی عمل می کند.

گام اول: محاسبه مشتق اول تابع (f'(x))

اولین قدم برای یافتن اکسترمم های نسبی، محاسبه مشتق اول تابع f(x) است. این مرحله نیاز به تسلط بر قواعد مشتق گیری دارد.

مثال: تابع f(x) = x^3 – 3x^2 + 5 را در نظر بگیرید.

مشتق اول این تابع به صورت زیر محاسبه می شود:

f'(x) = 3x^2 - 6x

گام دوم: یافتن نقاط بحرانی (ریشه های f'(x)=0 و نقاطی که مشتق تعریف نشده است)

پس از محاسبه مشتق اول، باید نقاطی را پیدا کنیم که در آن ها مشتق برابر صفر است یا تعریف نشده است (که برای توابع چندجمله ای معمولاً مورد دوم وجود ندارد). این نقاط، کاندیداهای اکسترمم نسبی هستند.

در مثال بالا:

f'(x) = 3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0

پس، x = 0 و x = 2 نقاط بحرانی تابع هستند.

گام سوم: تعیین علامت مشتق اول در اطراف نقاط بحرانی (جدول تعیین علامت)

برای تشخیص اینکه هر نقطه بحرانی، یک حداکثر نسبی، حداقل نسبی یا هیچ کدام نیست، باید علامت مشتق اول را در بازه هایی که توسط نقاط بحرانی ایجاد می شوند، بررسی کنیم. بهترین راه برای این کار، رسم جدول تعیین علامت است.

نحوه رسم جدول و تفسیر آن:

1. محور اعداد حقیقی را در نظر بگیرید و نقاط بحرانی را روی آن مشخص کنید. این نقاط محور را به بازه هایی تقسیم می کنند.
2. یک عدد دلخواه از هر بازه انتخاب کنید و آن را در f'(x) جایگذاری کنید تا علامت مشتق در آن بازه مشخص شود.
3. بر اساس تغییر علامت مشتق، نوع اکسترمم را تشخیص دهید:

• اگر علامت f'(x) از مثبت به منفی تغییر کند (تابع از صعودی به نزولی تبدیل شود) در آن نقطه یک حداکثر نسبی داریم.
• اگر علامت f'(x) از منفی به مثبت تغییر کند (تابع از نزولی به صعودی تبدیل شود) در آن نقطه یک حداقل نسبی داریم.
• اگر علامت f'(x) تغییر نکند (مثلاً از مثبت به مثبت یا از منفی به منفی)، آن نقطه اکسترمم نسبی نیست (احتمالاً نقطه عطف است).

برای تابع f(x) = x^3 – 3x^2 + 5 و نقاط بحرانی x=0 و x=2:

بازه ها	مقدار تستی	f'(x) = 3x(x – 2)	علامت f'(x)	وضعیت f(x)
x < 0	x = -1	3(-1)(-1-2) = 3(-1)(-3) = 9	+	صعودی
0 < x < 2	x = 1	3(1)(1-2) = 3(1)(-1) = -3	–	نزولی
x > 2	x = 3	3(3)(3-2) = 3(3)(1) = 9	+	صعودی

نتیجه گیری:

• در x = 0: علامت f'(x) از مثبت به منفی تغییر می کند. پس f(x) در x = 0 دارای حداکثر نسبی است. مقدار حداکثر نسبی برابر است با f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 5 = 5.
• در x = 2: علامت f'(x) از منفی به مثبت تغییر می کند. پس f(x) در x = 2 دارای حداقل نسبی است. مقدار حداقل نسبی برابر است با f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 5 = 8 – 12 + 5 = 1.

یافتن حداقل و حداکثر مطلق در یک بازه بسته

یافتن اکسترمم های مطلق در یک بازه بسته [a, b]، به معنای پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در کل این بازه است. نکته مهم این است که اکسترمم های مطلق ممکن است در نقاط بحرانی داخل بازه یا در نقاط انتهایی بازه رخ دهند.

گام اول: یافتن نقاط بحرانی تابع در داخل بازه داده شده

همانند یافتن اکسترمم نسبی، ابتدا مشتق تابع را محاسبه کرده و ریشه های آن را می یابیم. سپس، فقط آن دسته از نقاط بحرانی را در نظر می گیریم که در داخل بازه بسته [a, b] قرار دارند.

گام دوم: محاسبه مقدار تابع در تمام نقاط بحرانی یافته شده

مقدار تابع اصلی f(x) را در هر یک از نقاط بحرانی که در گام اول شناسایی شده اند، محاسبه می کنیم.

گام سوم: محاسبه مقدار تابع در نقاط انتهایی بازه (نقاط مرزی)

مقدار تابع f(x) را در نقاط انتهایی بازه یعنی x = a و x = b نیز محاسبه می کنیم. فراموش کردن این مرحله از اشتباهات رایج دانش آموزان است.

گام چهارم: مقایسه تمامی مقادیر و تشخیص بزرگترین (ماکزیمم مطلق) و کوچکترین (مینیمم مطلق)

در نهایت، تمامی مقادیری که در گام های دوم و سوم محاسبه کرده اید را با یکدیگر مقایسه کنید. بزرگترین مقدار، حداکثر مطلق و کوچکترین مقدار، حداقل مطلق تابع در بازه [a, b] خواهد بود.

مثال گام به گام جامع برای یافتن اکسترمم مطلق در بازه بسته:

تابع f(x) = x^2 – 4x + 1 را در بازه [0, 3] در نظر بگیرید.

1. یافتن نقاط بحرانی:
   • مشتق تابع: f'(x) = 2x – 4
   • ریشه مشتق: 2x – 4 = 0 => 2x = 4 => x = 2
   • نقطه بحرانی x = 2 در داخل بازه [0, 3] قرار دارد.
2. محاسبه مقدار تابع در نقاط بحرانی:
   • f(2) = (2)^2 – 4(2) + 1 = 4 – 8 + 1 = -3
3. محاسبه مقدار تابع در نقاط انتهایی بازه:
   • f(0) = (0)^2 – 4(0) + 1 = 1
   • f(3) = (3)^2 – 4(3) + 1 = 9 – 12 + 1 = -2
4. مقایسه مقادیر:
   • مقادیر بدست آمده: {-3, 1, -2}
   • کوچکترین مقدار: -3 در x = 2 (حداقل مطلق)
   • بزرگترین مقدار: 1 در x = 0 (حداکثر مطلق)

بنابراین، حداقل مطلق تابع در بازه [0, 3] برابر -3 در x=2 و حداکثر مطلق آن برابر 1 در x=0 است.

مثال های حل شده کاربردی و مطابق با کنکور

برای تثبیت مفاهیم، در این بخش به حل چند مثال کاربردی می پردازیم که همپوشانی قابل توجهی با نوع سوالات مطرح شده در امتحانات نهایی و کنکور سراسری رشته انسانی دارند. تمرین با این مثال ها به شما کمک می کند تا روش های گام به گام را به خوبی درک و اجرا کنید.

مثال ۱: یافتن اکسترمم های نسبی تابع چندجمله ای

تابع f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 2 را در نظر بگیرید. حداقل و حداکثر نسبی آن را بیابید.

1. مشتق گیری:

   
   f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
       

2. یافتن نقاط بحرانی (f'(x) = 0):

   
   3x^2 - 12x + 9 = 0
   x^2 - 4x + 3 = 0 (با تقسیم بر 3)
   (x - 1)(x - 3) = 0
       

   نقاط بحرانی: x = 1 و x = 3

3. تعیین علامت مشتق اول:
   

   بازه ها	مقدار تستی	f'(x) = 3(x – 1)(x – 3)	علامت f'(x)	وضعیت f(x)
   x < 1	x = 0	3(-1)(-3) = 9	+	صعودی
   1 < x < 3	x = 2	3(1)(-1) = -3	–	نزولی
   x > 3	x = 4	3(3)(1) = 9	+	صعودی

4. نتیجه گیری:
   • در x = 1: علامت از مثبت به منفی تغییر می کند => حداکثر نسبی. مقدار f(1) = 1^3 – 6(1)^2 + 9(1) – 2 = 1 – 6 + 9 – 2 = 2.
   • در x = 3: علامت از منفی به مثبت تغییر می کند => حداقل نسبی. مقدار f(3) = 3^3 – 6(3)^2 + 9(3) – 2 = 27 – 54 + 27 – 2 = -2.

مثال ۲: یافتن اکسترمم های مطلق در بازه بسته

حداقل و حداکثر مطلق تابع f(x) = x^2 – 2x + 3 را در بازه [0, 4] بیابید.

1. یافتن نقاط بحرانی:
   • f'(x) = 2x – 2
   • 2x – 2 = 0 => x = 1
   • نقطه بحرانی x = 1 در بازه [0, 4] قرار دارد.
2. محاسبه مقدار تابع در نقاط بحرانی و انتهایی بازه:
   • f(1) = (1)^2 – 2(1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2
   • f(0) = (0)^2 – 2(0) + 3 = 3 (نقطه انتهایی بازه)
   • f(4) = (4)^2 – 2(4) + 3 = 16 – 8 + 3 = 11 (نقطه انتهایی بازه)
3. مقایسه مقادیر:

   مقادیر حاصل: {2, 3, 11}

   • حداقل مطلق: 2 در x = 1
   • حداکثر مطلق: 11 در x = 4

مثال ۳: مسئله بهینه سازی ساده (کاربرد مشتق)

یک شرکت تولیدی، هزینه های تولید x واحد محصول را با تابع C(x) = 2x^2 – 20x + 100 مدل سازی کرده است. x تعداد واحد تولیدی و C(x) هزینه کل بر حسب میلیون تومان است. تعداد واحدی را بیابید که منجر به حداقل هزینه تولید می شود.

برای یافتن حداقل هزینه، باید نقطه حداقل تابع هزینه C(x) را بیابیم.

1. مشتق گیری از تابع هزینه:

   
   C'(x) = 4x - 20
       

2. یافتن نقطه بحرانی (C'(x) = 0):

   
   4x - 20 = 0
   4x = 20
   x = 5
       

3. بررسی نوع نقطه بحرانی با آزمون مشتق اول (یا دوم):

   برای اطمینان از اینکه x=5 نقطه حداقل است، می توانیم اطراف آن را بررسی کنیم:

   • اگر x < 5 (مثلاً x=4): C'(4) = 4(4) – 20 = 16 – 20 = -4 (نزولی)
   • اگر x > 5 (مثلاً x=6): C'(6) = 4(6) – 20 = 24 – 20 = 4 (صعودی)

   با تغییر علامت مشتق از منفی به مثبت، در x = 5 یک حداقل نسبی داریم.

   همچنین می توانیم از مشتق دوم استفاده کنیم: C”(x) = 4. چون C”(5) = 4 > 0، پس x=5 یک نقطه حداقل است.

4. محاسبه حداقل هزینه:

   حداقل هزینه با تولید 5 واحد محصول به دست می آید:

   
   C(5) = 2(5)^2 - 20(5) + 100
   C(5) = 2(25) - 100 + 100
   C(5) = 50
       

نتیجه گیری: با تولید 5 واحد محصول، حداقل هزینه تولید برابر 50 میلیون تومان خواهد بود.

اشتباهات رایج دانش آموزان و چگونگی رفع آن ها

در طول سال ها تدریس و بررسی پاسخنامه های دانش آموزان، الگوهای تکراری از اشتباهات در مبحث حداقل و حداکثر مشاهده شده است. آگاهی از این خطاها و روش های پیشگیری از آن ها، می تواند به شما در اجتناب از تکرارشان کمک کند.

1. فراموش کردن بررسی نقاط انتهایی بازه برای اکسترمم مطلق:

   این رایج ترین اشتباه است. بسیاری از دانش آموزان صرفاً نقاط بحرانی را بررسی می کنند و فراموش می کنند که حداکثر یا حداقل مطلق ممکن است در مرزهای بازه بسته رخ دهد. همیشه مقادیر تابع را در نقاط بحرانی (درون بازه) و نقاط انتهایی بازه محاسبه و با هم مقایسه کنید.

2. اشتباه در تعیین علامت مشتق اول:

   یک خطای محاسباتی کوچک در تعیین علامت f'(x) در بازه ها می تواند منجر به تشخیص اشتباه نوع اکسترمم (حداقل به جای حداکثر یا بالعکس) شود. همیشه اعداد تستی را با دقت در مشتق اول جایگذاری کنید و جدول تعیین علامت را با حوصله کامل کنید.

3. محاسبات نادرست مشتق یا مقادیر تابع:

   گاهی اوقات دانش آموزان مفهوم را به درستی درک می کنند، اما در مرحله مشتق گیری یا جایگذاری مقادیر در تابع اصلی، دچار اشتباه محاسباتی می شوند. تمرین مداوم و مرور قواعد مشتق گیری ضروری است.

4. عدم تشخیص صحیح نوع اکسترمم:

   این اشتباه زمانی رخ می دهد که نقطه بحرانی، نه حداقل باشد و نه حداکثر (مانند نقطه عطف). اگر علامت مشتق اول در اطراف نقطه بحرانی تغییر نکند، آن نقطه اکسترمم نیست. باید به تغییر علامت مشتق توجه دقیق داشت.

5. مخلوط کردن مفاهیم نسبی و مطلق:

   گاهی اوقات دانش آموزان بین اکسترمم نسبی و مطلق سردرگم می شوند. به یاد داشته باشید که اکسترمم های نسبی تنها در یک همسایگی محلی بررسی می شوند، در حالی که اکسترمم های مطلق به کل دامنه یا بازه مشخص اشاره دارند.

جمع بندی و نکات پایانی

مبحث حداقل و حداکثر توابع یکی از کاربردی ترین و در عین حال قابل فهم ترین بخش های ریاضی دوازدهم انسانی است که دروازه ای به سوی درک عمیق تر از رفتار توابع و حل مسائل بهینه سازی در دنیای واقعی می گشاید. تسلط بر این مبحث نیازمند فهم دقیق مفاهیم مشتق و نقاط بحرانی و سپس کاربرد روش های آزمون مشتق اول برای اکسترمم های نسبی و مقایسه مقادیر در نقاط بحرانی و مرزی برای اکسترمم های مطلق است.

برای کسب تسلط کامل:

1. همواره اصول مشتق گیری را مرور کنید و در آن مهارت یابید.
2. تعریف و تفاوت اکسترمم های نسبی و مطلق را به خوبی درک کنید.
3. حل مثال های متنوع، به ویژه مثال های کنکوری و مسئله های بهینه سازی ساده، را در اولویت قرار دهید.
4. به اشتباهات رایج توجه کنید و سعی کنید از آن ها اجتناب نمایید.
5. در نهایت، هیچ چیز به اندازه تمرین و تکرار مداوم نمی تواند به شما در تسلط بر این مبحث کمک کند. مطالعه دقیق کتاب درسی و حل تمرین های بیشتر را فراموش نکنید. با پشتکار و دقت، به راحتی می توانید بر این بخش مهم از ریاضی مسلط شوید.